Programmi laurea magistrale

 

70/LM-0006 - CALCOLO NUMERICO E MATEMATICA APPLICATA

Anno Accademico ​2014/2015

Docente
SEBASTIANO ​SEATZU (Tit.)
Periodo
Primo Semestre​
Modalità d'Erogazione
Convenzionale​
Lingua Insegnamento
ITALIANO​



Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[70/86] ​ ​INGEGNERIA PER L'AMBIENTE E IL TERRITORIO [86/00 - Ord. 2012] ​ ​PERCORSO COMUNE880
Obiettivi

Obiettivi: Far acquisire una conoscenza operativa di basilari metodi analitici e numerici per lo studio dei modelli differenziali alle derivate parziali di tipo stazionario ed evolutivo. Per tale motivo la illustrazione di ogni argomento viene corredata dallo svolgimento di esercizi, senza alcuna distinzione formale tra le ore di lezione e quelle di esercitazione.

Prerequisiti

Il corso presuppone una buona conoscenza degli argomenti
di base dell’analisi e dell’algebra.

Contenuti

Classificazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs).
Problemi modello di tipo stazionario (equazione di Laplace e di Poisson), evolutivi di I ordine (equazione del calore) ed evolutivi di II (equazione delle onde). Condizioni sufficienti per l’esistenza e l’unicità della soluzione.
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (ODEs)
La soluzione generale di una ODE lineare del II ordine. Introduzione all'analisi spettrale. Teoria spettrale di Sturm-Liouville. Conversione di una (ODE) di ordine superiore in un sistema di ODE del I ordine. Il caso particolare dei sistemi lineari di ODE a coefficienti costanti.
Elementi di analisi armonica.
Ortogonalità delle funzioni trigonometriche e sviluppo di una funzione in serie di Fourier. Convergenza, integrazione e differenziazione delle serie di Fourier. Convergenza uniforme. Decadimento dei coefficienti di Fourier. Risoluzione di problemi con valori agli estremi (BVPs) mediante il metodo spettrale.
Algebra lineare numerica.
Sistemi di equazioni algebriche lineari. Autovalori ed autovettori di una matrice. Norme vettoriali e matriciali. Condizionamento e stabilità. Il metodo di eliminazione di Gauss con pivoting. Introduzione ai metodi iterativi. I metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Il metodo del gradiente coniugato. Risoluzione di PDEs con il metodo alle differenze finite.
Risoluzione delle ODEs lineari del 2° ordine con valori noti agli estremi. Valutazione dell’errore. Il metodo iterativo di Newton per la risoluzione di sistemi nonlineari. Il metodo di Newton-Jacobi per la risoluzione di modelli differenziali ordinari debolmente nonlineari con valori agli estremi. Risoluzione di equazioni ellittiche lineari mediante schemi alle differenze centrali. Risoluzione delle equazioni di tipo parabolico con uno schema implicito a 4 punti e di quelle iperboliche mediante uno schema implicito a 7 punti. Valutazione dell’errore di discretizzazione. Risoluzione delle equazioni ellittiche e paraboliche debolmente nonlineari con il metodo di Newton-Jacobi.
Risoluzione di PDEs con il metodo agli elementi finiti.
Introduzione agli spazi di Sobolev. Formulazione debole (variazionale) di una ODE con valori noti agli estremi e di una PDE di tipo ellittico con soluzione nota al bordo. Risoluzione di una ODE con elementi finiti di tipo spline lineari. Valutazione dell'errore. Reticolazione di un dominio bidimensionale. Costruzione di una base di elementi finiti di tipo box-splines. Loro costruzione con utilizzo del triangolo di riferimento. Il teorema della divergenza e la prima identità di Green. Applicazione alla risoluzione di problemi di tipo ellittico. Calcolo della stiffness matrix e della load matrix per una PDEs di tipo ellittico. Problema spettrale di Helmholtz. Risoluzione di PDes di tipo parabolico ed iperbolico in una e due variabili spaziali.

Metodi Didattici

Classificazione delle Equazioni differenziali (4 ore); Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (ODEs) (6 ore); Elementi di Analisi Armonica (8 ore); Metodi analitici di risoluzione (14 ore); Algebra lineare numerica (12 ore), Risoluzione di PDEs con il metodo alle differenze finite (16 ore). Risoluzione di PDEs con il metodo agli elementi finiti (20 ore).

Verifica dell'apprendimento

Prova finale scritta/prove parziali durante il semestre

Testi

S. Seatzu, P. Contu, Equazioni alle Derivate Parziali (Una introduzione ai metodi di risoluzione analitica e numerica), Pitagora Editrice Bologna, 2012.
A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi
Differenziali, Springer, Milano, 2007.

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