Programmi laurea triennale

 

IN/0186 - ANALISI MATEMATICA 1

Anno Accademico ​2019/2020

Docente
GIUSEPPE ​VIGLIALORO (Tit.)
Periodo
Primo Semestre​
Modalità d'Erogazione
Convenzionale​
Lingua Insegnamento
ITALIANO​



Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[70/72] ​ ​INGEGNERIA CIVILE [72/00 - Ord. 2013] ​ ​PERCORSO COMUNE990
[70/73] ​ ​INGEGNERIA PER L'AMBIENTE E IL TERRITORIO [73/00 - Ord. 2017] ​ ​PERCORSO COMUNE990
Obiettivi

Gli obiettivi formativi del corso Analisi Matematica 1 sono definiti coerentemente con quanto riportato nella scheda SUA CdS e più in dettaglio possono essere descritti secondo quanto segue:
Conoscenza e comprensione: Lo studente al termine del corso avrà conoscenza di argomenti inerenti successioni numeriche, calcolo infinitesimale di funzioni reali di variabile reale ed equazioni differenziali ordinarie.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di comprendere e interpretare i problemi matematici la cui risoluzione è legata alla conoscenza del calcolo infinitesimale così come alle successioni numeriche ed equazioni differenziali.
Autonomia di giudizio: le nozioni acquisite in campo teorico e applicativo consentiranno allo studente di comprendere quali modelli e tecniche matematiche sono più opportune per la descrizione di fenomeni naturali.
Abilità comunicative: lo studente acquisirà la capacità di comunicare quanto appreso ed elaborato ed inoltre esprimere e argomentare la scelta di una metodologia rispetto ad un’altra per la risoluzione di un problema matematico.
Capacità di apprendimento: lo studente apprenderà metodologie e strumenti quali analisi infinitesimale e sue dirette applicazioni a problemi di ottimizzazione e di modellistica matematica in senso generale.

Prerequisiti

Buona conoscenza dell’algebra (indispensabile), della trigonometria (indispensabile) e della geometria analitica elementare (indispensabile)

Contenuti

Cenni di teoria degli insiemi. Cenni sugli insiemi di numeri naturali, interi, razionali. Numeri reali: definizione, operazioni algebriche, distanza e sue proprietà. Estremo superiore e inferiore. Topologia della retta: punti di accumulazione, isolati, interni, esterni e di frontiera. Insiemi chiusi e aperti (lezione 1 ora, esercitazione 1 ora)

Funzioni reali a valori reali. Dominio e codominio. Grafico delle funzioni elementari. Funzioni limitate, pari, dispari, periodiche. Massimo e minimo. Funzioni composte e inverse. (lezione 4 ore, esercitazione 2 ore)

Limiti. Definizione di limite. Teoremi ed algebra dei limiti. Forme indeterminate e limiti notevoli. Infiniti ed infinitesimi. (lezione 6 ore, esercitazione 4 ore)

Continuità. Definizione di funzione continua, punti di discontinuità. Proprietà Teorema della permanenza del segno, Teorema sugli zeri delle funzioni delle funzioni continue, funzioni monotone. Teorema di Weierstrass, Teorema della permanenza del segno, Teorema sugli zeri delle funzioni continue, (Primo e Secondo) Teorema dell’esistenza dei valori intermedi, Teorema sull’invertibilità di una funzione continua. (lezione 8 ore, esercitazione 6 ore)

Derivabilità. Definizione di derivata prima e significato geometrico (retta tangente). Punti critici. Funzioni derivabili. Proprietà e regole di derivazione. Derivazione delle funzioni composte ed inverse (e teoremi relativi). Definizione di punto di estremo relativo e assoluto e condizioni per la sua esistenza. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange (e conseguenze) e Cauchy. Crescenza e decrescenza. Derivate di ordine superiore. Concavità, convessità e flessi. Teorema di De L’Hopital. Formula di Taylor e Mac Laurin e applicazioni. (lezione 10 ore, esercitazione 5 ore)

Integrali indefiniti: definizione di primitiva e sue proprietà. Definizione di integrale definito tramite le somme superiori e inferiori. Applicazioni al calcolo delle aree di domini piani. Proprietà dell’operatore integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali immediati, metodi di integrazione: decomposizione, sostituzione, per parti e per frazioni semplici. Integrali generalizzati e criteri di convergenza. (lezione 13 ora, esercitazione 9 ore)

Equazioni differenziali. Esempi preliminari. Definizioni e terminologia. Equazioni differenziali in forma normale del 1° ordine (lineari, Bernoulli). Integrali singolari. Equazioni di Clairaut. Equazioni omogenee: espressione dell’integrale generale. Wronskiano, teorema di Liouville. Equazioni non omogenee. Integrale particolare: metodo di Lagrange, casi notevoli del termine noto (combinazioni dei polinomi, esponenziali e funzioni seno e coseno). Equazioni lineari a coefficienti costanti. (lezione 10 ore, esercitazione 5 ore)

Successioni numeriche: limiti di successioni e teoremi relativi. Successioni limitate, monotone, sotto-successioni. Criterio di Cauchy, numero di Nepero (lezione 4 ore, esercitazione 2 ore)

Metodi Didattici

Lezioni frontali (teoria): 56
Lezioni frontali (esercitazioni): 34

Verifica dell'apprendimento

L’esame consiste in una prova scritta in cui vengono proposti i seguenti argomenti: analisi generale di una funzione reale di una variabile reale, calcolo integrale ed applicazioni, equazioni differenziali e successioni numeriche. Lo studente dovrà dimostrare di aver compreso ed appreso le tecniche per la trattazione e l'esposizione di ciascun argomento trattato e di sapere applicare le varie metodologie delle diverse tecniche risolutive. Il punteggio della prova di esame è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. La prova consta di 5 esercizi, di cui 4 obbligatori (con punteggio 7.5 ognuno) e 1 facoltativo (con punteggio 3) ed il punteggio è stabilito secondo la seguente regola: somma dei punteggi ottenuti nei singoli esercizi. Nella valutazione dell'esame la determinazione del voto finale tiene conto, per ogni esercizio proposto, della logica seguita dallo studente, della strategia di calcolo scelta in termini delle ipotesi del problema, della chiarezza espositiva e di ragionamento.

Testi

[1] Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa: Analisi matematica 1. Zanichelli.
[2] Sandro Salsa, Annamaria Squellati: Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli.

Altre Informazioni

Ulteriori informazioni, compiti d'esame, annunci, informazioni etc. sono disponibili sulla pagina web del Docente.

Altri insegnamenti programmati

credits unica.it | accessibilità Università degli Studi di Cagliari
C.F.: 80019600925 - P.I.: 00443370929
note legali | privacy

Nascondi la toolbar