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2312 - MATEMATICA GENERALE

Anno Accademico ​2021/2022

Docente
GIOVANNI BATISTA ​MASALA (Tit.)
Periodo
Primo Semestre ​
Modalità d'Erogazione
Convenzionale ​
Lingua Insegnamento
ITALIANO ​



Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[11/77] ​ ​ECONOMIA E FINANZA [77/00 - Ord. 2017] ​ ​PERCORSO COMUNE1272
Obiettivi

Il Corso affronta gli argomenti fondamentali dell'Analisi Matematica e dell'Algebra Lineare propedeutici ai corsi di Economia Politica, Statistica e Matematica Finanziaria.
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Laurea in Economia e Finanza, i risultati dell’apprendimento attesi seguono i seguenti Descrittori di Dublino:
1) Conoscenza e capacità di comprensione. Al termine del corso gli studenti saranno in grado di comprendere le principali nozioni dell'analisi matematica (continuità, derivabilità, integrabilità) e del calcolo matriciale, con specifica attenzione alla risoluzione di problemi di natura finanziaria ed economica con l’uso di questi strumenti.
2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Al termine del corso gli studenti sapranno anche utilizzare i seguenti principali strumenti di analisi: limiti, derivate, integrali e dell'algebra lineare. Con l’uso di tali strumenti dovranno essere in grado di risolvere problemi di ottimizzazione di carattere economico e finanziario.
3) Autonomia di giudizio. Gli studenti dovranno individuare le corrette procedure matematiche per la risoluzione di particolare problemi utilizzando le nozioni introdotte e saper interpretare in maniera critica i risultati ottenuti.
4) Abilità comunicative. Al termine del corso lo studente avrà acquisito la capacità di esprimere i concetti fondamentali dell'analisi matematica e del calcolo matriciale con un certo rigore e di utilizzare correttamente la simbologia matematica.
5) Capacità di apprendimento. Durante il corso lo studente acquisirà la capacità di studiare e apprendere le nozioni introdotte in maniera autonoma, anche al fine di utilizzarle per la risoluzione di problemi di natura applicativa in tutte le discipline quantitative previste dal Corso di Studio.

Prerequisiti

Algebra elementare. Monomi e polinomi. Frazioni algebriche. Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado. Sistemi di equazioni e disequazioni lineari. Disequazioni algebriche fratte. Potenze e radicali. I logaritmi. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Coordinate cartesiane nel piano.

Contenuti

1) Argomenti preliminari. Teoria degli insiemi (notazioni). Operazioni. Connettivi logici. Insiemi numerici. Intervalli e intorni. Coordinate cartesiane e retta. Equazioni algebriche intere e fratte. Disequazioni algebriche intere e fratte. Sistemi di disequazioni. Coordinate cartesiane. (8 ore)
2) Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Funzioni iniettive e suriettive. Grafico di una funzione. Crescenza e decrescenza. Funzioni pari e dispari. Intersezione con gli assi. Le funzioni elementari. Esponenziali e logaritmi. Grafico e proprietà. Ricerca dominio e positività di una funzione. Operazioni sulle funzioni. Composizione. Funzione inversa. (10 ore)
3) Limiti. Concetto intuitivo. Punto di accumulazione. Definizioni (convergenza a un numero finito o infinito). Asintoti. Definizione generale di limite. Proprietà dei limiti.
Funzioni continue. Limiti di funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Punti di discontinuità, classificazione. Limite destro e sinistro. Teoremi sulle funzioni continue. (10 ore)
4) Rapporto incrementale. Definizione di derivate e interpretazione geometrica. Derivata delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Esempi di derivate. Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy. Continuità delle funzioni derivabili. Altre forme indeterminate. Teorema di De l’Hospital.
Differenziale di una funzione. Interpretazione geometrica. Approssimazione di una funzione. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor e Mac Laurin.
Estremi relativi. Definizioni. Legame tra crescenza e derivata prima. Criteri per la ricerca degli estremi relativi (condizioni necessarie e sufficienti).
Concavità e flessi. Definizioni. Legame tra concavità e derivata seconda. Criteri per la ricerca dei flessi (condizioni necessarie e sufficienti).
Rappresentazione grafica di una funzione. (14 ore)
5) Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrali immediati. Applicazioni. Proprietà dell’integrale indefinito.
Integrale definito. Somma integrale inferiore e superiore. Funzione integrale. Teorema di Barrow-Torricelli e conseguenze. Formula di Leibniz per il calcolo dell’integrale definito. Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media. Regole di integrazione per parti e per sostituzione. (8 ore)
6) Spazi vettoriali. Vettori in R. Operazioni sui vettori. Matrici. Determinante di una matrice. Minori. Proprietà. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Compatibilità di un sistema. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer. Sistemi lineari parametrici. (8 ore)
7) Definizione di funzione a due variabili reali. Dominio e codominio. Curve di livello. Rapporto incrementale e derivate parziali. Derivate seconde. Teorema di Schwarz.
Estremi liberi di una funzione. Punti stazionari. Punti di sella. Matrice hessiana.
Estremi vincolati di una funzione. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Matrice hessiana orlata. Applicazioni economiche. (14 ore)

Metodi Didattici

Il corso prevede 72 ore di lezioni frontali (equamente ripartite tra teoria ed applicazioni pratiche). Sono previste ulteriori esercitazioni ed eventuali homeworks assegnati periodicamente.

Per l’Anno Accademico 2021/2022 la didattica verrà erogata prevalentemente in presenza, integrata e “aumentata” con strategie on line, allo scopo di garantirne la fruizione in modo innovativo e inclusivo.
Eventuali aggiornamenti saranno inseriti nella sezione 'Avvisi' della home page del Docente.

Verifica dell'apprendimento

Il punteggio dell'esame è espresso in trentesimi. E' prevista una prova intermedia scritta sulla prima parte nel periodo di svolgimento delle lezioni (solo esercizi).
Gli appelli ordinari prevedono una prova scritta (esercizi e domande teoriche a risposta aperta) sull'intero programma. Per gli studenti che hanno superato la prova intermedia è prevista una prova scritta (esercizi sulla seconda parte e domande teoriche a risposta aperta sull'intero programma). La prova scritta potrà essere integrata con una prova orale facoltativa.
Alla luce dei descrittori elencati negli obiettivi formativi, si valuterà:
1) la conoscenza dei contenuti teorici;
2) la capacità di utilizzare le suddette nozioni per la risoluzione di problemi pratici;
3) la capacità di individuare le corrette strategie risolutive e di interpretare i risultati ottenuti;
4) la chiarezza espositiva e l'uso corretto della simbologia matematica;
5) la capacità di effettuare ragionamenti corretti di natura interdisciplinare.
L'intervallo di attribuzione del voto va:
- dai 18/30 (voto minimo) per un livello elementare di conoscenza della materia (capacità di risolvere semplici problemi di ottimizzazione e padronanza di linguaggio appena sufficiente);
- al 30/30 con eventuale lode (voto massimo): tutti gli obiettivi sono stati raggiunti in maniera esauriente.

Le modalità delle prove d’esame (comprese le prove intermedie) potranno subire delle modifiche a seguito dell’emergenza COVID-19: consultare la sezione 'Avvisi' per eventuali aggiornamenti.

Testi

1) Angelo Guerraggio. Matematica, terza edizione, 2020. Pearson, Prentice Hall.

2) Lucidi forniti dal docente.

Altre Informazioni

Lucidi delle lezioni e materiale didattico supplementare (esempi di compiti svolti e commentati) fornito dal docente.

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