Introduzione alla teoria degli operatori

 

Docente: Lucio Cadeddu – cadeddu@unica.it – tel. 070/6758520 – 328 0091813

Tipologia: Triennale/Magistrale

CFU=6

Prerequisiti: programmi standard dei corsi di analisi reale del corso di studi triennale in matematica, concetti di topologia generale.

Obiettivi formativi: apprendimento dei concetti base dell’Analisi Funzionale e della teoria degli operatori: spazi funzionali, funzionali, operatori tra spazi funzionali.

Programma.

  • Spazi Metrici, Insiemi Aperti. Insiemi Chiusi. Intorni. Convergenza. Successioni di Cauchy. Completezza. Completamento di uno Spazio metrico.
  • Spazi Normati. Spazi di Banach, Spazio Vettoriale, Spazio Normato.
    Spazi Normati Finito Dimensionali e Sottospazi
    Compattezza e Dimensioni Finite, Operatori Lineari, Spazi Lineari di Operatori, Operatori Lineari Limitati e Continui, Funzionali Lineari.
    Operatori Lineari e Funzionali su Spazi Finito Dimensionali, Spazi Normati di Operatori. Spazio Duale.
  • Spazi con Prodotto Scalare. Spazi di Hilbert, Definizione Equivalente di Spazio con Prodotto Scalare. Completamento di uno Spazio con Prodotto Scalare. Complemento Ortogonale e Somma Diretta.
    Insiemi e Successioni Ortonormali. Basi Ortonormali. Rappresentazione di Funzionali su Spazi di Hilbert. Operatori Aggiunti di Hilbert. Operatori Autoaggiunti, Unitari e Normali.
  • Teoremi per gli Spazi Normati e di Banach. Lemma di Zorn, alcune applicazioni del Lemma di Zorn. Teorema di Hahn–Banach. Estensioni del Teorema di Hahn–Banach.

Testi di riferimento: dispense del docente.

Modalità di verifica: tipologia reading course, con prova finale alla lavagna. Lo studente si prepara in maniera autonoma sul materiale didattico fornito dal docente, la prova si svolge alla lavagna tramite l’esposizione di un argomento a scelta dello studente e seguenti domande di contorno proposte dal docente. Il voto è in 30esimi.

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