Introduzione all’Analisi Non Lineare

 

Docente: Antonio Iannizzotto– antonio.iannizzotto@unica.it

Tipologia: Magistrale

 CFU=6

Prerequisiti:

Nel corso saranno date per acquisite le seguenti nozioni:

  • Equazioni alle derivate parziali: definizioni, classificazione, definizioni di soluzione classica e debole;
  • Analisi funzionale: spazi di Banach astratti, spazi riflessivi, topologia debole, operatori lineari, spazi di Lebesgue, spazi di Sobolev;
  • Topologia: spazi compatti, connessi, convessi, gruppi di omologia.

Obiettivi formativi:

Lo studente viene introdotto ai metodi variazionali per problemi ai valori al contorno per equazioni alle derivate parziali del secondo ordine ellittiche non lineari. Alla conclusione del corso, lo studente deve

• conoscere enunciati e dimostrazioni dei principali teoremi astratti della disciplina;

• essere in grado di applicarli a problemi anche diversi da quelli presentati nel corso;

• essere in grado di accedere alla letteratura scientifica corrente sulla materia.

Programma:

  1. Calcolo differenziale in spazi di Banach. Derivate secondo Gâteaux e secondo Fréchet, funzionali di classe C1, teorema del valor medio, gradiente. Funzionali derivabili in spazi di Hilbert, Lebesgue, Sobolev. Pseudogradienti per funzionali C1, teorema di esistenza di uno pseudogradiente.
  2. Metodo diretto del calcolo delle variazioni. Principio variazionale di Ekeland. teorema di minimo globale per un funzionale coercivo e sequenzialmente debolmente semicontinuo inferiormente. Compattezza in spazi di Banach: condizioni di Palais-Smale, Cerami, relazione con la coercività.
  3. Teoremi di min-max. Punti critici in dimensione finita e infinita: principio di Courant- Hilbert. Equazione di Eulero-Lagrange. Teoremi di deformazione, del passo di montagna (Ambrosetti-Rabinowitz), dei tre punti critici (Pucci-Serrin).
  4. Teoria di Morse. Richiamo sull’omologia singolare. Gruppi critici di un funzionale C1, gruppi critici all’infinito. Numeri di Betti, Morse. Formula di Poincaré-Hopf. Lemma di Morse per funzionali C2. Linking omologico.
  5. Equazioni ellittiche non lineari. Richiami sul problema di Dirichlet per il laplaciano: soluzioni deboli, spettro, principio del massimo, regolarità classificazione della non linearità sublineari, asintoticamente lineari e superlineari. Funzionale dell’energia. Teoremi di esistenza, molteplicità. Condizione di Ambrosetti-Rabinowitz.
  6. Approfondimenti e problemi. L’operatore p-Laplaciano. Problemi di Neumann, Robin. Soluzioni di segno costante, variabile. Domini illimitati. Crescita critica.

Modalità di verifica:

Dissertazione orale (seminario) o scritta (tesina) a cura dello studente; colloquio valutativo finale.

Testi di riferimento:

• D. Motreanu, V.V. Motreanu, N.S. Papageorgiou, Topological and variational methods with applications to nonlinear boundary value problems, Springer (2014)

• A. Iannizzotto, Analisi non lineare (in preparazione)
Ulteriori informazioni: Contattare il docente all’indirizzo: antonio.iannizzotto@unica.it o consultare il sito http://people.unica.it/antonioiannizzotto/ per materiale didattico e chiarimenti.

credits unica.it | accessibilità Università degli Studi di Cagliari
C.F.: 80019600925 - P.I.: 00443370929
note legali | privacy

Nascondi la toolbar