Metodi numerici della teoria dell’approssimazione

 

Docente: Luisa Fermo –  fermo@unica.it

Tipologia: Triennale/Magistrale

CFU=6

Prerequisiti:

  1. Analisi Matematica (calcolo differenziale e integrale, spazi normati, di Banach e di Hilbert, successioni e serie di funzioni, convergenza puntuale e in norma)
  2. Algebra Lineare (spazi vettoriali, sistemi lineari, autovalori, basi ortonor- mali)
  3. Elementi di programmazione Matlab

Obiettivi formativi: Far acquisire una conoscenza operativa:

  • dei risultati della teoria dell’approssimazione e della teoria degli operatori lineari basilari per l’integrazione numerica e la risoluzione delle equazioni integrali;
  • delle metodologie nel calcolo numerico degli integrali e nella risoluzione numerica delle equazioni integrali.

A conclusione del corso gli studenti dovranno saper:

  • stabilire l’ordine di approssimazione di una funzione, con prefissata rego- larit`a, mediante polinomi (algebrici e trigonometrici);
  • scegliere la formula di integrazione piu` adatta per approssimare un inte- grale sulla base della regolarit`a della funzione integranda e del suo dominio di integrazione;
  • applicare metodi numerici per risolvere le equazioni integrali di Fredholm di seconda specie, discutendone stabilit`a e convergenza;
  • implementare i relativi algoritmi (integrazione numerica e risoluzione di equazioni integrali) e essere in grado di valutare la compatibilit`a dei risul- tati numerici con le stime teoriche.

Programma.

  1. Teoria dell’approssimazione. Approssimazione di funzioni mediante polinomi algebrici e trigonometrici. Interpolazione di tipo Lagrangia- no. Valutazione degli errori di approssimazione puntuale e in norma. Interpolazione polinomiale a tratti (funzioni spline). Stima dell’errore.
  2. Integrazione numerica. Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes. Polinomi ortogonali e integrazione di tipo Gaussiano. Formule prodotto. Stime degli errori di integrazione. Estensione al caso bidimensionale.
  3. Approssimazione di operatori integrali. Operatori integrali. Teore- ma delle serie geometriche. Operatori compatti. Teoria di Riesz-Fredholm. Approssimazione, puntuale e in norma, di operatori integrali.
  4. Approssimazione numerica di equazioni integrali. Classificazione delle equazioni integrali. Equazioni integrali di Fredholm di seconda spe- cie. Metodo di Nystr ̈om. Metodi di proiezione (metodo di collocazione e metodo di Galerkin).

Testi di riferimento:

  • Giuseppe Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Editrice Bologna
  • Giovanni Monegato, Metodi e algoritmi per il calcolo numerico, CLUT
  • Rainer Kress, Linear Integral Equations, Springer
  • Kendall E. Atkinson, The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind, Cambridge University Press

Modalità di verifica: La verifica dell’apprendimento avviene attraverso la preparazione di una tesina scritta che dovrà essere consegnata al docente e discussa  durante una prova orale a cui seguiranno ulteriori domande da parte del docente.

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